Enseigner la mécanique des fluides au lycée et en début de licence en s’appuyant sur l’histoire des sciences

Les contenus au programme d’un cours « traditionnel » de physique

Dans les programmes de physique du secondaire français est menée une étude de la statique des fluides et des écoulements dits « parfaits », écoulements pour lesquels les phénomènes de viscosité sont négligeables. En premier cycle universitaire, les thèmes abordés dans le secondaire sont approfondis et on y ajoute l’étude d’un écoulement visqueux.

Détaillons une partie des nouveautés des programmes appliqués à la rentrée 2020 dans le secondaire français. En première générale est abordée la description d’un fluide au repos (notion de forces pressantes, loi fondamentale de la statique des fluides) et, en terminale, la modélisation de l’écoulement d’un fluide (poussée d’Archimède, débit volumique, relation de Bernoulli et effet Venturi). On retrouve ces contenus dans la filière technologique sciences et technologies de l’industrie et du développement durable, dénommée STI2D.

L’étude de ces notions est prolongée au sein du continuum bac-3/bac+33. Ainsi, en sections de formation de techniciens (brevet de technicien supérieur [BTS] et institut universitaire de technologie [IUT]), on étudie les pertes de charge4 et le fonctionnement des pompes hydrauliques, via notamment l’étude d’abaques et l’expérimentation. En CPGE et en licence scientifique, on peut aller jusqu’à aborder l’équation de Navier-Stokes, qui est associée à l’écoulement visqueux et incompressible d’un fluide. Dans un cursus biomédical, l’accent est mis sur la modélisation de l’écoulement sanguin, avec l’étude des pertes de charge et des échanges sanguins.

L’ordre pédagogique traditionnel de présentation des équations régissant un écoulement incompressible en premier cycle universitaire est celui indiqué ci-dessous. En notant

L’équation de Navier-Stokes se simplifie en l’équation d’Euler, lorsque les phénomènes dissipatifs sont négligeables :

L’équation d’Euler est elle-même simplifiable en la relation de Bernoulli, si on se limite à un écoulement permanent, parfait et que l’on travaille avec deux points 

Dans le cas de l’écoulement à travers l’orifice (où se situe le point 

Les difficultés des élèves en mécanique des fluides

Concernant les sources de difficulté des élèves en mécanique des fluides, la statique des fluides a été massivement traitée (Kariotoglou, Koumaras & Psillos, 1995 ; Psillos, 1999, 2004 ; Besson, 2001, 2004). C'est moins le cas de domaines propres à l’enseignement supérieur comme la cinématique et la dynamique des fluides. Nous n’avons pas repéré d’autres travaux que ceux de Jean-Louis Closset (1992 ; Blondin, Closset & Lafontaine, 1992) et de chercheurs de l’Université du Wisconsin avec leur Fluid Mechanics Concept Inventory (FMCI) (Martin, Mitchell & Newell, 2003), repris notamment par Duncan M. Fraser et ses collaborateurs (2007). En statique des fluides, Dimitris Psillos (2004) insiste sur la différenciation entre l’aspect extensif et l’aspect intensif des grandeurs associées : l’aspect non additif de la pression, indépendant de la quantité de matière, ne semble pas évident pour tous les élèves. Pour certains élèves, c’est la pression qui est transmise à travers les liquides et pour d’autres, c’est la force. Les propriétés vectorielles de la force sont attribuées à la pression.

Concernant la dynamique des fluides, l’équipe de Closset (Blondin, Closset & Lafontaine, 1992) l’aborde dans l’objectif d’améliorer l’enseignement de l’électricité. Notant que Samuel Johsua (1989) rend compte des raisonnements d’élèves en électricité selon la métaphore du fluide en mouvement, ils examinent la possibilité de proposer l'écoulement d’un liquide dans un circuit fermé, c’est-à-dire bouclé sur lui-même, comme analogie possible pour l’étude d’un circuit électrique. L’étude de Closset et de ses collaborateurs est menée via des questionnaires crayon-papier auprès d’une centaine d’étudiants de première année universitaire scientifique ayant déjà reçu un enseignement d’hydrodynamique et auprès d’une cinquantaine de novices. Les situations envisagées concernent un circuit hydraulique constitué d’une canalisation fermée qui est reliée à une pompe et qui présente un ou plusieurs rétrécissements, une ou plusieurs ramifications.

Les chercheurs s’intéressent aux tendances de « raisonnement spontané », au sens décrit par Laurence Viennot (1979). Non appris en tant que tel, ce raisonnement se manifeste par des erreurs et peut s’ériger en obstacle lors de l’apprentissage de concepts scientifiques. Les chercheurs signalent que les élèves ont des difficultés à appréhender le problème dans son ensemble : ils ne voient pas l’importance de l’aspect fermé du circuit. Ils repèrent trois idées reçues liées à un raisonnement qualifié de séquentiel : d’une part, la section diminue donc le débit volumique diminuerait, d’autre part, la section diminue et une même quantité d’eau doit traverser une section donnée donc le débit volumique augmenterait (il y a confusion entre le débit volumique et la vitesse moyenne) et, enfin, le rétrécissement n’aurait pas d’influence sur l’amont du circuit. Par ailleurs, ils repèrent que les quatre principaux modes de raisonnement dégagés antérieurement par Closset (1992) pour les circuits électriques se manifestent dans des proportions différentes en hydrodynamique : un raisonnement local (peu présent dans les deux cas), un raisonnement séquentiel qui est minoritaire en mécanique des fluides et majoritaire en électricité, un raisonnement à débit constant qui est majoritaire en mécanique des fluides et minoritaire en électricité et enfin un raisonnement systémique. Même avec ce dernier mode de raisonnement, plus de la moitié des élèves interrogés pensent que la pression est la même dans tout le circuit hydraulique fermé étudié. Enfin, Closset estime qu’il existe une hiérarchie entre ces modes de raisonnement, hiérarchie qu’il s’agit d’accepter et de faire franchir à l’élève pour espérer, à terme, une assimilation correcte du contenu scientifique. Closset parle de « chemin cognitif » :

Terminons en signalant qu’au cours d’entretiens réalisés auprès d’étudiants français et américains (Crastes, 2019), est ressortie l’idée que lors d’un rétrécissement de canalisation, la pression serait plus forte là où la section serait la plus étroite, les particules de fluide y ayant moins de place. Précisons également que certaines difficultés susceptibles d’être rencontrées par les élèves et étudiants nous semblent devoir varier d’une filière à une autre (technicité mathématique, capacité d’abstraction, recours à l’informatique pour rechercher une solution approchée, etc.), tandis que d’autres paraissent communes à l’ensemble des filières (choix du modèle, détermination des termes négligeables dans l’équation régissant le phénomène, confrontation des prévisions théoriques aux résultats expérimentaux).

Les éléments épistémologiques et historiques dans l’enseignement et l’apprentissage de la physique, en particulier de la mécanique des fluides

Après les concepts scientifiques, lois et modèles au programme d’enseignement, abordons à présent les savoirs épistémologiques et historiques mentionnés dans les programmes.

Si les préambules des programmes mettent en avant la modélisation et l’HS, les objectifs qui leur sont assignés restent généraux, implicites et non opérationnalisés dans les tableaux de contenus. Par exemple, en CPGE, il est question uniquement dans le programme « d’acquérir des éléments de culture », de mettre le thème étudié « en perspective avec l’HS et des techniques » dans le cadre d’une « mise en contexte des contenus scientifiques ».

Dans les manuels scolaires, l’HS est souvent peu abordée en mécanique des fluides. Cela est particulièrement vrai en France. Et ce, contrairement à d’autres domaines comme la mécanique quantique ou l’optique, où cette approche est davantage mise en avant. Cela surprend d’autant plus qu’il existe une littérature en histoire de la mécanique des fluides qui est riche et qui fait l’objet de recherches actuelles (par exemple Olivier Darrigol et Alexandre Guilbaud en France).

Le même constat peut être fait à propos des revues dédiées aux enseignants et aux chercheurs, comme Le Bup. Bulletin de l’Union des Professeurs de Physique et de Chimie en France ou l’American Journal of Physics aux États-Unis. Très peu d’articles ont été publiés en lien avec l’histoire de la mécanique des fluides sur la période allant du xviii^e au xix^e siècle. À ce jour, à notre connaissance, aucun article dans Le Bup et un seul dans l’American Journal of Physics, datant de 1953 (Seeger, 1953).

Si l’HS n’est pas explicitée, elle inspire néanmoins certains dispositifs et expériences proposés dans les manuels et ressources pour enseignants et élèves/étudiants, comme celui qui sera discuté dans la dernière section de notre texte.

Par ailleurs, les études dans le champ de la NoS montrent que les enseignants partagent des conceptions de la science/des sciences voisines de celles des élèves et étudiants. Semblables à une mosaïque, elles relèvent d’une vision réaliste naïve et empirico-inductive de la science (Lederman, 2007 ; Roletto, 1998). De plus, selon cette vision, la théorie serait pour beaucoup découplée des résultats expérimentaux et les modèles décriraient la réalité (Tiberghien, 1994 ; Van Driel & Verloop, 2002 ; Soler, 2013). Par ailleurs, les connaissances en HS des enseignants du secondaire et du supérieur sont limitées (Martinand, 1993 ; Crastes, 20195). Ces différents constats interrogent sur les objectifs que les enseignants sont susceptibles de se fixer. En effet, recourir à l’HS lors d’un enseignement de physique nécessite au préalable de la part de l’enseignant de réfléchir à ce qu’il cherche à travailler avec les étudiants et à ce qu’il prend en charge dans son cours de physique.

N’utiliser l’HS que pour aider à l’apprentissage de concepts scientifiques au programme risque d’aboutir à son appauvrissement. En revanche, comme le soulignent Jean-Louis Martinand (1993) et d’autres didacticiens de la physique (Hosson, 2004 ; Maurines & Beaufils, 2011), y recourir peut être l’occasion d’étudier les conceptions de scientifiques d’autrefois et leur évolution au sein d’une communauté de recherche, d’y déceler des pistes permettant d’émettre des hypothèses sur les difficultés des élèves, d’élaborer des dispositifs d’enseignement adaptés, en ravivant le questionnement scientifique, à la fois pour l’enseignant et l’élève.

Introduire l’HS dans l’enseignement peut être aussi l’occasion de développer la réflexion des élèves sur la nature des savoirs scientifiques et de leurs modes d’élaboration, et plus largement sur la NoS. Ainsi, Laurence Maurines et Daniel Beaufils (2013) proposent de définir des objectifs précis d’apprentissage épistémologique liés au recours à l’HS, comme faire comprendre, entre autres, l’évolution des connaissances au cours du temps, par continuité et rupture, la relation forte entre questions techniques et évolution des idées, l’interdépendance entre sciences et société, le fait que les savants d’une époque donnée ont rencontré des difficultés conceptuelles, les interactions entre sciences et croyances, le fait que l’activité scientifique est source de controverses. Dans la lignée des investigations documentaires à caractère historique fondées sur des dossiers de textes spécifiquement conçus pour chaque objectif et contexte historico-scientifique proposés par ces chercheurs, a été élaboré et expérimenté en classe un dispositif d’enseignement centré sur l’histoire de la loi de la réfraction (Slaïma & Maurines, 2017). Celui-ci vise notamment à travailler les interactions entre théorie et empirie et à s’interroger sur la démarche suivie (la construction de la pensée scientifique débute-t-elle ou non systématiquement par de la théorie ?, la démarche suivie est-elle systématiquement hypothético-déductive ?, etc.).

Stade 1

Au xvii^e siècle, en lien avec le développement des fontaines dans les cités italiennes, Evangelista Torricelli (1608-1647) étudie le mouvement de l’eau à la sortie d’un vase percé d'un trou étroit. Il choisit un vase large de niveau d’eau maintenu constant, permettant d’assurer un écoulement quasi-permanent, et indique :

En ce qui concerne les conditions expérimentales dans lesquelles il se place pour obtenir un tel résultat, il précise choisir un récipient « d'une capacité convenable » et « percé d'un petit trou » (Torricelli, cité par Nordon, 1992 : 14).

L'enjeu est alors d’expliquer pourquoi l’eau, en sortie du trou, a une vitesse égale à celle qu’elle aurait eue si elle était tombée en chute libre depuis la surface libre du réservoir. Torricelli réalise une expérience où le jet d’eau, en sortie du réservoir, est pointé vers le haut. Le jet d’eau devrait alors parvenir à monter jusqu’au niveau de la surface libre du réservoir, ce qu’il ne constate pas expérimentalement. Il reprend alors l’expérience avec du mercure et les résultats lui paraissent un peu plus en accord avec ses prévisions. Il en conclut que : « L’expérience mesme semble en quelque façon prouver ce principe, bien qu’aussi elle semble en quelque façon le détruire » (Torricelli, cité par Nordon : 122). Christian Huygens (1629-1695) reprend les travaux expérimentaux de Torricelli, mais ils ne sont toujours pas concluants. Huygens indique alors que la loi de Torricelli n’a pu être « desmontrée par raison, mais seulement prouvée par expérience » (Huygens, cité par Nordon, 1992 : 123).

Marcel Nordon considère que Torricelli « ouvre une porte de cinématique sans savoir que la dynamique est derrière » (Nordon, 1992 : 54) et pointe l’état de la réflexion à cette époque : « Les difficultés sont considérables car une telle démarche impose le développement d’une science du mouvement dépassant largement l’étude du point matériel ou même des systèmes de corps » (Nordon, 1992 : 54). C’est au siècle suivant qu’une preuve théorique de ce résultat est obtenue.

Stade 2

Dans Hydrodynamica (1738), Daniel Bernoulli introduit deux idées nouvelles : le principe de conservation des forces vives (vis viva : « La descente réelle est égale à la montée potentielle » [Bernoulli, cité par Nordon, 1992]7) et le découpage du fluide en tranches transversales pour étudier l’écoulement. La pression est présentée comme un effort exercé sur les parois (le rôle de la pression à l’intérieur du fluide n’est pas encore perçu) et est reliée à la vitesse aux frontières du volume global de fluide en régime permanent.

Le principe des forces vives et le découpage du fluide en tranches permettent à Daniel Bernoulli de prouver théoriquement la loi de Torricelli. Il reprend la situation étudiée par Torricelli. Sur la gravure du document 3 figure un récipient ABGC rempli, de surface libre AB.

Via un rétrécissement EG lui est associée une canalisation horizontale EFDG présentant un orifice o. Daniel Bernoulli introduit la démarche novatrice de découper le fluide en tranches perpendiculaires à la direction du mouvement et de suivre leur mouvement (voir sur la gravure du document 3 la portion notée abdc). La notion de pression n'est associée qu’aux parois : il n’y a pas la notion de champ de pression comme on peut la trouver dans les travaux ultérieurs de son père et de Leonhard Euler. Par ailleurs, Daniel Bernoulli se limite à l’étude d’écoulements stationnaires. Il réussit à retrouver théoriquement la loi de Torricelli et il en précise les conditions de validité. Il évalue la pression

Avec

Bernoulli aborde également le cas d’une canalisation horizontale avec deux orifices supplémentaires placés en g et l (voir Document 4).

En g est inséré un tube ; en l, rien. On observe que dans le tube placé en g, le niveau d’eau se stabilise au point h et non au point m qui, lui, est situé à la même hauteur que la surface libre du réservoir ABGC. Le niveau d’eau a baissé lors de l’écoulement dans la canalisation horizontale. En l, le niveau atteint par le jet d’eau est sensiblement le même qu’en g.

Dans Hydraulica (1742), Jean Bernoulli aborde la même thématique que son fils Daniel. Il décompose le fluide en un ensemble de veines (voir Document 5) et retrouve des résultats similaires à ceux de son fils. La valeur ajoutée de son travail est qu’il introduit la notion de pression à l’intérieur du fluide et non plus uniquement sur les parois, et qu’il aborde le cas d’un écoulement non permanent.

D’Alembert, dans le Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides (1744) et dans l’Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides (1752), remet en cause la légitimité du principe de conservation des forces vives. Ses principales contributions sont l’analyse du travail de ses prédécesseurs et des questions qu’il soulève. Il note ainsi que, sans l’hypothèse du parallélisme des couches de fluide, « il n’y aurait plus alors d’autre moyen pour déterminer ce mouvement que d'examiner celui que chaque particule devrait avoir » (D’Alembert, cité par Hahn, 1965). D’Alembert perçoit la statique des fluides comme un cas particulier de dynamique des fluides. Son travail constitue une étape dans la généralisation et l’unification de la mécanique, les solides et les fluides étant vus comme des supports différents de mêmes lois. Par ailleurs, il apporte une contribution à l’étude des marées et des alizés : il introduit l’outil des équations aux dérivées partielles, qui sera ensuite repris par Pierre-Simon de Laplace, et signale un terme lié au mouvement de rotation de la Terre (dénommé plus tard « force de Coriolis »). Ce type d’étude est lié aux problèmes économiques de l’époque, en l’occurrence ici le transport maritime.

C’est Euler qui structure les équations du mouvement d’un fluide. Il transpose à l’étude d’un écoulement les avancées que lui et d’Alembert ont obtenues au préalable en mécanique des solides déformables, en particulier le recours aux dérivées partielles. Il analyse le fluide comme étant un milieu continu pour lequel on étudie le champ de vitesse et le décompose en couches parallèles reprenant la démarche de d’Alembert. Il introduit le concept de pression interne au fluide et évalue la variation d’un volume élémentaire de fluide en écoulement pendant une durée élémentaire. Il couple cette démarche à la conservation de la masse, puis exprime l’accélération de ce volume et obtient les équations du mouvement. Il aboutit ainsi aux équations9 « pour un fluide idéal et compressible, dans son mémoire de 1755 intitulé “principes généraux du mouvement des fluides” et publié dans les Mémoires de l’Académie de Berlin » (Guilbaud, 2007 : 182).

Dans ses écrits, Euler mentionne les difficultés qu’il a rencontrées : « j’espère d’en venir heureusement à bout, de sorte que s’il reste des difficultés, ce ne sera pas du côté du méchanique, mais uniquement du côté de l’analytique » (Euler, cité par Dugas ([1950] 1996 : 288).

Il pointe également l’objectif général qu’il a poursuivi et les liens qui peuvent être établis avec les recherches de ses confrères :

Darrigol voit dans le travail d’Euler l’illustration du cas où la découverte des équations régissant le phénomène est finalement plus simple que leur validation expérimentale :

Dugas rappelle néanmoins qu’Euler :

Ainsi, assez tôt dans le développement de ce domaine, des équations régissant les phénomènes sont obtenues.

Cependant, leur non-linéarité implique l’absence d’une solution générale connue. La recherche d’une solution va être une des préoccupations majeures des savants du siècle des Lumières. Cette absence de solution mathématique connue, couplée à l’hypothèse du parallélisme des tranches, aboutit à une vision de l’écoulement trop éloignée des résultats expérimentaux de l’époque. Évoquant les travaux de Charles-Augustin Coulomb sur les frottements qui sont à visée purement pratique, Dugas signale que la mécanique des frottements « demeure à l’époque liée à l’art vulgaire des machines, tandis que la mécanique rationnelle se développait sur le plan mathématique sans égard au frottement » (Dugas, [1950] 1996 :308).

Stade 3

De par la démarche de Charles Bossut et de Jean-Charles de Borda, le rapprochement entre les deux approches, théorique et expérimentale, s’enclenche à la fin du xviii^e siècle. Par exemple, à cette période, en France, les ouvrages dédiés aux écoulements abordent à nouveau ces deux approches. Le changement s’opère définitivement à la génération suivante, grâce notamment à la création de l’École polytechnique en France qui propose un nouveau type d’enseignement contenant, entre autres, de l’hydrodynamique et que suivent Henri Navier, Gaspard-Gustave Coriolis, Adhémar Barré de Saint-Venant. Plus tard, ils y enseigneront, ainsi qu’à l’École des ponts et chaussées, tout en étant membres de l’Académie des sciences. Hydrodynamique et hydraulique sont associées. C’est donc au début du xix^e siècle que le fossé entre approche pratique et théorique peut commencer à s’estomper. À l’occasion des interférences entre ces deux approches, chacune d’entre elles évolue sans pour autant fusionner l’une avec l’autre.

Nous résumons ces éléments dans le document 6.

Il y a donc eu deux phases, l’une liée à l’évolution des idées, de Bernoulli à Euler, puis une « étape de retour vers le concret », citation de Roger Hahn rappelée par Guilbaud (2007 : 27). Pour Hahn, si cela n’a pas eu lieu plus tôt, ce n’est pas uniquement pour des raisons sociologiques. Il examine donc de l’intérieur la science de l’hydrodynamique (Hahn, 1965) et se demande si, à cette époque, les instruments expérimentaux à disposition sont assez développés, si le recours à un raisonnement de type milieu continu freine les possibilités et si les théoriciens ne sont pas trop préoccupés par les problèmes d’axiomatisation, au détriment des conditions aux limites des équations trouvées. Précisons quelques aspects de ce rapprochement, via l’obtention de l’équation dite de Navier-Stokes, qui illustre la nécessité de la mise en place au xix^e siècle de nouvelles stratégies pour associer expérience et théorie. Darrigol (2005) constate qu’il n’y a eu aucun progrès en mécanique des fluides dû à une seule approche mathématique. Il justifie ce constat par le fait que les équations régissant la mécanique des fluides sont des équations différentielles non linéaires : il y a donc très peu de cas où on sait les résoudre. Toutes les avancées du xix^e siècle sont dues à des « physiciens-ingénieurs », familiers de problèmes pratiques. La démarche suivie en mécanique des fluides n’est pas une démarche inductive. Elle consiste en l’étude de problèmes pratiques, couplée à un apport de physique théorique. Darrigol estime que se sont mis en place des « schémas conceptuels » liant fondements théoriques et problèmes concrets. Ces schémas nécessiteraient beaucoup de créativité et amélioreraient profondément la compréhension des phénomènes. Pour Darrigol, ces « schémas conceptuels » illustrent la structure modulaire de la physique, où chaque module peut être lui-même une théorie. Ces modules sont de différentes natures, ils sont réducteurs et servent tantôt à définir une notion, tantôt à approximer, à idéaliser ou à illustrer. Grâce à la construction d’une structure modulaire adéquate, l’opposition entre théorie et expérience est dépassée.

Vivifier le questionnement scientifique

La connaissance des problèmes explorés par le passé est susceptible d’aider à enrichir les contextes et questionnements introduits dans la classe. Une telle connaissance est également susceptible de faciliter un regard plus critique sur les ressources proposées aux élèves et étudiants. Nous commençons par aborder ce point, avant de montrer comment cette connaissance peut aider à travailler sur les limites des modèles étudiés et leur mise en évidence expérimentale.

Développer la réflexion épistémologique

Nous nous plaçons ici dans la continuité de Maurines et Beaufils (2011). La visée épistémologique pourrait consister notamment à donner à voir comment les modèles ont été élaborés au cours du temps (interaction empirie et théorie), les difficultés rencontrées, les avancées liées aux interactions entre communautés.